Panganib na Maubos ang Pondo
Ang probabilidad na mawala ang buong pondo sa paglalaro bago maabot ang layunin.
Para sa mga taya na magkapantay ang panalo at taya, sinusunod ng panganib na maubos ang pondo ang pormula ng pagkaubos ng manunugal. Sa $500 na pondo, $10 na taya at $600 na layunin, naaabot mo ang layunin nang humigit-kumulang 57% ng panahon at nauubos ang pondo sa natitira.
Ang tanong
Mayroon kang a yunitperaYunitAng batayang taya na gamit ng sistema o manlalaro. Inilalarawan ang mga progresyon sa mga yunit upang umangkop ang mga ito sa anumang mesa.Basahin nang buo → ng pondo sa paglalaroperaPondo sa paglalaroAng kabuuang halagang inilaan para sa paglalaro. Ang pamamahala sa pondo sa paglalaro ay ang pagpapasya kung gaano kalaki rito ang isasapanganib sa bawat taya at bawat sesyon.Basahin nang buo → at nais mong umabot sa a + b yunit, na tumataya nang tig-isang yunit sa tayang magkapantay ang panalo at tayatayaTaya na magkapantay ang panalo at tayaPula/itim, impar/pares, mataas/mababa. 18 numero, bayad ay 1:1.Basahin nang buo → na may probabilidadmatematikaProbabilidadProbabilidad ng isang kinalabasan, mula 0 hanggang 1 o 0% hanggang 100%. Isang numero: 1/37 = 2.70%.Basahin nang buo → ng panalo na p = 18/37 at probabilidad ng talo na q = 19/37. Ano ang pagkakataong maabot mo ang layunin bago ka umabot sa sero? Nakuha nina Pascal, Fermat at Huygens ang sagot noong dekada 1650 at isa ito sa pinakamatandang resulta sa probabilidad.
Ang pormula ng pagkaubos ng manunugal
P(reach target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Ang panganib na maubos ang pondomatematikaPanganib na maubos ang pondoProbabilidad na mawala ang buong pondo sa paglalaro bago maabot ang layunin o bilang ng ikot.Basahin nang buo → ay isang minus niyan. Sa q/p = 19/18 ≈ 1.0556, lumalaki nang eksponensiyal ang ratio ayon sa bilang ng yunit, kaya mabigat ang kaparusahan ng pormula sa maliliit na yunit: habang mas maraming taya ang kailangan upang marating ang layunin, mas maraming beses binabayaran ang 2.70% na singil sa daan.
Pagbasa rito
Masakit ang maliliit na yunit. Ang pagtatangkang doblehin ang $500 gamit ang $10 na taya ay nagtatagumpay nang 6% ng panahon; sa isang $500 na taya, 48.6% ito. Ang matapang na paglalaro—mas kakaunti at mas malalaking taya—ang pinakamainam upang mapalaki ang pagkakataong maabot ang layunin sa larong may negatibong inaasahang halaga, dahil pinakakaunti nito ang beses na inilalapat ang bentahe. Pinakamalaki rin nito ang baryansmatematikaBaryansSukat kung gaano kalawak kumalat ang mga resulta sa palibot ng inaasahang halaga. Mataas para sa taya sa iisang numero, mababa para sa mga tayang magkapantay ang panalo at taya.Basahin nang buo → ng nangyayari sa iyo, at mabilis nitong tinatapos ang gabi. Tinatawag ang teorema na “optimal ang matapang na paglalaro” at pinatunayan ito nina Dubins at Savage noong 1965.
Saan nagsimula ang problema
Mas matanda ang tanong kaysa ruleta. Noong 1656, nagbigay si Pascal kay Fermat ng palaisipan: dalawang manlalaro ang naghahagis ng tatlong dice, bawat isa ay nagsisimula sa 12 counter; ang hagis na 11 ay nagpapalipat ng counter sa isang direksiyon, at ang 14 sa kabila. Pareho nila itong nalutas, at inilimbag ni Huygens, na nalaman ito mula sa liham ng matematikong si Pierre de Carcavi, noong 1657 bilang ikalimang problema ng unang aklat tungkol sa probabilidad, kasama ang sagot ngunit walang patunay. Maaaring lumabas ang labing-isa sa 27 paraan at ang labing-apat sa 15 lamang, kaya bawat counter ay gumagalaw pabor sa unang manlalaro nang 9 beses sa 14, at ipinakikita ng pormula sa itaas, na may tig-12 counter sila, na humigit-kumulang 1,157 beses siyang mas malamang manalo ng lahat kaysa matalo ng lahat. Mas maliit ang 2.70% na bentahe, ngunit ipinakikita ng parehong pormula ang epekto nito sa maraming taya.
Isang tunay na matapang na taya
Noong Abril 2004, ipinagbili ni Ashley Revell, isang batang Ingles, ang halos lahat ng pag-aari niya, kabilang ang kaniyang damit, at dinala ang $135,300 sa Plaza sa Las Vegas. Pagkatapos ng ilang maliit na taya, itinaya niya ang buong halaga sa pulatayaPulaTaya na magkapantay ang panalo at taya sa 18 pulang numero. Sa Pranses: rouge.Basahin nang buo →, isang beses. Lumapag ang bolakagamitanBolaAng maliit na bola na inilulunsad sa riles laban sa rotor. Ang mga makabagong bola ay ivorine o Teflon, 18–21 mm.Basahin nang buo → sa pulang 7 at lumabas siyang may $270,600. Sa gulong na may dobleng serogulongSeroAng nag-iisang berdeng bulsa na hindi sakop ng tayang magkapantay ang panalo at taya, dosena, o kolum; ang pinagmumulan ng bentahe ng casino. Tinatawag ding: iisang sero, 0.Basahin nang buo →, ang nag-iisang ikot na iyon ay may 47.37% na pagkakataon at nagkakahalaga sa kaniya nang $7,121 sa karaniwan, ang 5.26% na bentahe sa isang taya. Kung ikakalat sa $10 na taya, halos walang pag-asang maabot ang parehong layunin. Hindi pinabubuti ng matapang na paglalaro ang taya; ginagawa lang nitong pinakamaikli hangga’t maaari.
Panganib na maubos ang pondo na walang layunin
Kung maglalaro ka lamang hanggang maubos ang pondo o hihinto pagkatapos ng N ikot, ang tanong ay nagiging “ano ang pagkakataong dumikit sa sero ang pondo sa paglalaro sa loob ng N ikot?”. Walang saradong pormula para sa pangkalahatang N ngunit kinukuwenta ito ng mga simulator sa site na ito: ang $500 na pondo na may $10 sa pula ay halos hindi nauubos sa 100 ikot (wala pang 1%), nauubos nang humigit-kumulang 9% ng panahon sa 500 ikot, at nang humigit-kumulang 95% sa 5,000. Kung walang tuntunin sa paghinto, ang probabilidad ay tungo sa 100%, na siyang pangmatagalang bersiyon ng bentahe ng casinomatematikaBentahe ng casinoAng bentahe ng casino ay ang bahaging karaniwang kinukuha ng casino sa bawat taya: 2.70% sa ruletang Europeo.Basahin nang buo →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- panggitna −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Pangmatagalang Paglapit: Ang Batas ng Malalaking Bilang sa Ruleta
Gaano katagal, at gaano kalayo ang lamang
Dalawa pang klasikong resulta ang sumasagot sa mga tanong na talagang itinatanong ng mga manlalaro. Kung walang layunin, ang pantay na mga taya na magkapantay ang panalo at taya ay tumatagal nang 37 ikot sa karaniwan para sa bawat yunit ng pondo sa gulong na Europeo at 19 sa Amerikano, dahil bawat ikot ay kumukuha ng 1/37 ng yunit sa karaniwan (1/19 sa gulong na Amerikano): ang 100 yunit ay tumatagal nang 3,700 ikot sa karaniwan, bagaman kalahati ng naturang sesyon ay tapos sa loob ng 3,134 (tingnan ang Haba at Gastos ng Sesyon). At gaano man kalaki ang pondo, ang pagkakataon sa gulong na Europeo na maging k yunit ang lamang kahit minsan ay (18/19)ᵏ. Iyon ay 95% para sa isang yunit at 58% para sa sampu, ngunit walang pondo, gaano man kalalim, ang nagbibigay ng pantay na pagkakataong maging 13 yunit ang lamang; sa gulong na Amerikano ang pagkakataon ay (9/10)ᵏ at bumababa sa kalahati sa 7 yunit.
Haba at Gastos ng SesyonGulong at mga Tuntunin ng Ruletang Amerikano
Pondong para sa pantay na pagkakataon
Baligtarin ang tanong: magkano ang dapat dalhin upang magkaroon ng hindi bababa sa pantay na pagkakataong manalo ng takdang halaga bago mawala ang lahat? Para sa maliit na panalo, hindi gaano kalaki. Para sa mas malaking halaga, matarik na tumataas ang kailangang pondo, at lampas sa isang punto ay walang pondong sapat, dahil kahit walang katapusang pondo ay nagbibigay ng mas mababa sa pantay na pagkakataong makarating nang ganoon kalayo ang lamang. Iba ang paglalahad ni Taylor (2021): sa gulong na Amerikano, upang magkaroon ng pantay na pagkakataong makaabot sa 100 yunit ay kailangan mong magsimula sa 94, na isinasapanganib ang 94 upang manalo ng 6. Sa gulong na Europeo ay kailangan mo ng 88.
Ang praktikal na aral
Magpasya kung ano ang sinusubukan mong gawin. Kung ang layunin ay isang tiyak na panalo, tumaya nang malaki ngunit kakaunting beses. Kung ang layunin ay mahabang gabi, tumaya nang maliit at tanggapin na kukunin ng bentahe ang 2.70% nito sa malaking kabuuang halagang itinayaperaKabuuang halagang itinayaAng kabuuang halagang itinaya sa isang sesyon o panahon, kasama ang mga panalong muling itinaya. Tinatawag ding: handle, action.Basahin nang buo →. Kung pareho ang layunin, may kailangang isuko, at karaniwan ay ang layunin iyon.
Pormula
Mga tanong
Binabawasan ito ng MartingaleestratehiyaMartingaleProgresyon na nagdodoble ng taya pagkatapos ng bawat talo. Tingnan ang seksiyong Estratehiya para sa ginagawa at hindi ginagawa nito.Basahin nang buo → sa maiikling sesyon ngunit itinataas nang malaki sa mahahaba. Ang pantay-pantay na pagtayaestratehiyaPantay-pantay na pagtayaPagtaya ng parehong halaga sa bawat ikot. Ang batayang pinaghahambingan ng bawat progresyon.Basahin nang buo → sa mas malaking yunit ang tapat na paraan upang ibaba ito.
Para sa magkapantay na panalo at taya ang pormula sa itaas. Para sa mga tayang mataas ang baryans, mas malamang maubos ang pondo sa maliliit na taya at mas pabugso-bugso ang pag-abot sa layunin; gamitin ang kalkulador.
Bawat hakbang patungo sa layunin ay bahagyang mas malabong mangyari kaysa bawat hakbang patungo sa pagkaubos; ang ratio ay pinaparami sa sarili nito ayon sa bilang ng mga hakbang.
Kasayahan sa matematika
Subukan muna ang mga ito. Nakatiklop ang bawat solusyon; buksan ito kapag handa ka na.
Mayroon kang $100 at gusto mong magkaroon ng $1,000, na pulatayaPulaTaya na magkapantay ang panalo at taya sa 18 pulang numero. Sa Pranses: rouge.Basahin nang buo → lamang ang tinatayaan. Unang plano: tumaya ng tig-$1. Ikalawang plano: itaya ang lahat ng mayroon ka hanggang lumampas ka sa $500, pagkatapos ay sapat lamang upang makarating sa $1,000. Aling plano ang mas mabuti, at gaano kalaki ang agwat?
Ipakita ang solusyon
Sagot Mas mabuti nang malaki ang ikalawang plano. Umaabot ito sa $1,000 nang mga 9.0% ng oras, malapit sa patas na 10%. Nagtagumpay ang unang plano nang mga 7 beses sa 10²².
Sa isang makatarungang laromatematikaMakatarungang laroLaro kung saan walang bentahe ang alinmang panig: sero ang inaasahang halaga ng bawat taya.Basahin nang buo →, makakarating ka sa $1,000 mula sa $100 nang isang beses sa sampu anuman ang gawin mo, dahil nananatili sa $100 ang karaniwang halaga ng pera mo.
Kinukuha ng bentahe ang 2.70% ng bawat taya, kaya habang mas kaunti ang kabuuang itinaya, mas malapit kang nananatili sa isa sa sampu. Nilulutas ng ikalawang plano ang usapin sa ilang taya: ang $100 ay nagiging $200, $400, $800, at sapat na ang $200 pagkatapos. Nagtagumpay ito nang mga 9.0% ng oras. Libo-libong taya ang kailangan ng unang plano bago matapos ang paglalakad, at ang bentahe, na maliit sa bawat isa, ay nag-iipon tungo sa halos tiyak na pagkaubos ng pondo.
Ito ang resulta nina Dubins–Savage sa pinakapayak na anyo nito (Epstein, 2013): sa larong pumapabor sa casino, itaya ang kailangan mo, sa pinakamakaunting beses na kaya mo.
Mayroon kang $500 at gusto mong magkaroon ng $1,000, at hihinto ka agad kapag nakuha mo ito. Pumipili ka ng isang uri ng taya at inuulit ito hanggang minsan itong manalo o maubos ang pera. Alin ang nagbibigay ng pinakamahusay na tsansa?
Ipakita ang solusyon
Sagot Isang $500 taya sa pula: 48.6%. Mas masama ang bawat planong hinahati ang pera sa mas maliliit na taya.
Piliin ang bawat taya upang sapat na ang isang panalo: ang $30 sa taya sa iisang numerotayaTaya sa iisang numeroIsang numero, bayad ay 35:1.Basahin nang buo → ay nananalo ng $1,050, ang $60 sa hating tayatayaHating tayaDalawang magkatabing numero; ang bayad ay 17:1.Basahin nang buo → ay nananalo ng $1,020, at iba pa. Pagkatapos, bilangin ang tsansang may kahit isang taya na manalo bago maubos ang pera. Labing-anim na $30 taya sa iisang numero ay pawang hindi tumama nang may tsansang (36/37)¹⁶ = 64.5%, kaya umaabot sila sa $1,000 nang 35.5% ng oras.
Ipinakikita ng talahanayan ang bawat taya. Pinakamabuti ang pula dahil umaabot ito sa isang taya, kaya isang beses binabayaran ang bentahe, sa $500. Pumapangalawa ang linyang animtayaLinyang animAnim na numero sa dalawang magkatabing hanay; ang bayad ay 5:1. Sa Pranses: sixain.Basahin nang buo → dahil tatlo lamang ang kailangan nito. Pinakamasama ang iisang dosenatayaDosena1–12, 13–24, o 25–36, bayad ay 2:1.Basahin nang buo → na taya, isang 12/37 na tsansa; kahit laruin sa tig-$250 yunitperaYunitAng batayang taya na gamit ng sistema o manlalaro. Inilalarawan ang mga progresyon sa mga yunit upang umangkop ang mga ito sa anumang mesa.Basahin nang buo → hanggang magkaroon ka ng $1,000 o higit pa, umaabot ang dosena roon nang 46.4% lamang ng oras.
Binubuo ni Bollman (2024) ang parehong talahanayan para sa gulong na Amerikano. May mali sa hanay niya para sa dosena: dapat itong 12/38 = 31.6%.
tayataya × bilang ng tayatsansang makarating sa $1,000Taya sa iisang numero$30 × 1635.5%Hating taya$60 × 835.9%Hanay ng tatlo$90 × 534.5%Taya sa sulok$125 × 436.7%Linyang anim$166, $166, $16841.2%Dosena$500 × 132.4%Pula$500 × 148.6%Isang yunit ang itinaya mo sa pula, ikot nang ikot, na may pondo sa paglalaroperaPondo sa paglalaroAng kabuuang halagang inilaan para sa paglalaro. Ang pamamahala sa pondo sa paglalaro ay ang pagpapasya kung gaano kalaki rito ang isasapanganib sa bawat taya at bawat sesyon.Basahin nang buo → na hindi nauubos. Pagkatapos ng unang ikot, isang yunit kang lamang o isang yunit na dehado. Ano ang tsansang magiging eksaktong tabla kang muli?
Ipakita ang solusyon
Sagot 36 sa 37, 97.3%. Sa gulong na Amerikano, 36 sa 38, 94.7%.
Kung nanalo ang unang ikot (18 beses sa 37), isang yunit kang lamang, at hinihila pababa ng bentahe ang bawat walang katapusang sesyon, kaya tiyak na dadaan kang muli sa tabla sa kalaunan. Kung natalo ito (19 beses sa 37), kailangan mong umakyat ng isang yunit, at ang tsansang maging isang yunit na lamang ka ay 18/19 (tingnan ang talahanayan sa itaas).
Magkasama: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Sa pangkalahatan, ang tsansa ay 1 bawas ang agwat ng mga tsansa na manalo at matalo sa isang ikot: 1 − 1/37 sa gulong na Europeo, 1 − 2/38 sa Amerikanong gulong. Sa larong walang serogulongSeroAng nag-iisang berdeng bulsa na hindi sakop ng tayang magkapantay ang panalo at taya, dosena, o kolum; ang pinagmumulan ng bentahe ng casino. Tinatawag ding: iisang sero, 0.Basahin nang buo →, walang agwat at ang tsansa ay 1: palaging bumabalik sa tabla ang iskor. Ibinigay ni Epstein (2013) ang pangkalahatang tuntunin.
Palaisipan ni Pascal noong 1656: dalawang manlalaro ang naghahagis ng tatlong dice, bawat isa ay nagsisimula sa 12 counter. Sa bawat 11, lumilipat ang isang counter sa unang manlalaro, sa bawat 14 ay lumilipat ang isa sa ikalawa; hindi binibilang ang ibang hagis. Gaano kalamang na mapanalunan ng unang manlalaro ang lahat ng 24? At kung sa halip ay tumaya ka ng 1 yunit sa pula sa bawat ikot laban sa isang kaibigang kumikilos bilang bangko, tig-12 yunit kayo, gaano kalamang na mapanalunan mo ang lahat ng 24?
Ipakita ang solusyon
Sagot Nanalo ang unang manlalaro nang mga 1,157 beses sa 1,158. Ikaw, sa pula, ay nananalo ng lahat ng 24 yunit nang mga 34% lamang ng oras.
Ang tatlong dice ay bumubuo ng 11 sa 27 paraan at 14 sa 15 paraan, kaya sa bawat counter na lumilipat, 27 beses sa 42 ito napupunta sa unang manlalaro, 9 beses sa 14. Dahil 12 ang simula ng bawat panig, ang tsansang kunin ang lahat ay 1/(1 + r¹²), kung saan ang r ay ratio ng tsansa ng kabilang panig sa iyo.
Para sa unang manlalaro, r = 5/9, at (5/9)¹² ≈ 0.00086, kaya ang tsansa ay mga 0.99914: odds na 9¹² sa 5¹², o 282,429,536,481 sa 244,140,625, mga 1,157 sa 1. Eksaktong inilimbag ni Huygens ang mga bilang na iyon noong 1657.
Sa pula, r = 19/18 dahil sa sero, at (19/18)¹² ≈ 1.913: ang tsansa mo ay 1/2.913 ≈ 34.3%. Ang barya ay magbibigay ng 50%. Ang 2.70% na bentahe sa bawat taya ay naiipon, sa maraming tayang kailangan, tungo sa 16-puntong agwat.
Pampagaan ng usapan
Optimal ang matapang na paglalaro. Mabilis din itong matapos.
Mga Sanggunian
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Liham kay Huygens, 28 Setyembre 1656, tungkol sa problemang iniharap ni Pascal kay Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”