Pamantayan ni Kelly at Ruleta
Sinasabi ng pamantayang Kelly sa manunugal na may bentahe kung magkano ang itataya. Para sa ruleta, malinaw ang sagot: wala.
Taya ayon sa Kelly = bentahe / odds. Sa negatibong bentahe, nagbabalik ang pormula ng negatibong bahagi, na ang ibig sabihin ay huwag tumaya. Kapaki-pakinabang pa rin ang pamantayan sa pag-unawa kung bakit ganoon ang sukat ng taya ng mga manlalarong kumikilala ng pagkiling, at kung bakit dapat magtakda ng sukat ayon sa badyet ang iba.
Ang pamantayan
Itinanong ni John Kelly (1956) kung paano dapat magsukat ng taya ang manunugal na may kilalang bentahe upang paramihin nang husto ang pangmatagalang paglago ng pondo sa paglalaroperaPondo sa paglalaroAng kabuuang halagang inilaan para sa paglalaro. Ang pamamahala sa pondo sa paglalaro ay ang pagpapasya kung gaano kalaki rito ang isasapanganib sa bawat taya at bawat sesyon.Basahin nang buo →. Ang sagot, para sa tayang nagbabayad ng b sa 1 na may probabilidadmatematikaProbabilidadProbabilidad ng isang kinalabasan, mula 0 hanggang 1 o 0% hanggang 100%. Isang numero: 1/37 = 2.70%.Basahin nang buo → ng panalo na p at probabilidad ng talo na q = 1 − p, ay itaya ang bahaging f* = (bp − q) / b ng pondo sa paglalaro. Ang positibong f* ay nangangahulugang itaya ang bahaging iyon; ang sero o negatibo ay nangangahulugang huwag tumaya. Nagtrabaho si Kelly sa Bell Labs, at ang kanyang papel na “A new interpretation of information rate” ay naglagay ng problema sa teorya ni Claude Shannon tungkol sa impormasyon: ang manunugal na tumatanggap ng tip sa maingay na linya, sa patas na odds, ay mapalalaki ang pondo sa paglalaro nang hanggang sa rate lamang ng impormasyong dala ng linya. Noong 1961, pinatunayan ni Leo Breiman na ang pagtaya ayon kay Kelly, sa mahabang panahon, ay nauuna kaysa sa anumang mahalagang naiibang estratehiya at nakaaabot sa itinakdang layunin sa halos pinakamaikling panahon.
Pagtaya ayon kay Kelly sa ruleta
Para sa pulatayaPulaTaya na magkapantay ang panalo at taya sa 18 pulang numero. Sa Pranses: rouge.Basahin nang buo →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Para sa taya sa iisang numerotayaTaya sa iisang numeroIsang numero, bayad ay 35:1.Basahin nang buo →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Bawat karaniwang taya ay nagbibigay ng negatibong bahaging Kelly, dahil negatibo ang bentahe ng bawat taya, at sero ang taya na pinakamainam sa paglago. Ang pagtaya ayon kay Kelly sa ruleta ay pormal na paraan ng pagsasabi ng sinasabi ng pahina tungkol sa bentahe ng casino: walang sukat kung saan napalalago ng tayang may negatibong inaasahang halaga ang pondo sa paglalaro.
Kung saan naaangkop si Kelly
May bentahe at problema sa pagsukat ng taya ang mga manlalarong kumikilala ng pagkiling. Kailangang magpasya nina Jagger, mga García-Pelayo, at mga Eudaemon kung magkano ang itataya sa kanilang nasukat na bentahe; ang kulang na taya ay nagsasayang ng bentahe habang ang sobrang taya ay naglalagay sa panganib na maubos ang pondo bago lumitaw ang bentahe. Para sa bulsakagamitanBulsaIsa sa 37 may numerong kompartimento sa rotor. Tinatawag ding: slot, cup.Basahin nang buo → na tumatama nang 1 sa 30, sinasabi ni Kelly na 0.57% ng pondo sa paglalaro bawat ikot sa numerong iyon: sa $10,000, humigit-kumulang $57 bawat ikot, para sa tipikal na paglago na humigit-kumulang 0.054% bawat ikot, o ×1.7 sa 1,000 ikot. Dalawang beses niyon ang karaniwang pakinabang, 0.11% bawat ikot, ngunit ang tipikal na pondo sa paglalaro ang pakay ni Kelly, hindi ang karaniwan, na napapataas ng ilang masuwerteng sunod. Karaniwang praktikal na pagpili ang half-Kelly dahil hindi tiyak ang tantiya sa bentahe.
Tipikal at karaniwan
Malaki ang agwat sa pagitan ng tipikal na pondo sa paglalaro at karaniwan. Kumuha ng bulsang tumatama nang 1 beses sa 25, may bentahe na 44%, ang bilang na ibinigay ni Thorp para sa kanyang aparato. Itinataya ni Kelly ang 1.26% ng pondo sa paglalaro rito. Pagkatapos ng 1,000 ikot, lumago nang humigit-kumulang 11.5 beses ang tipikal na pondo sa paglalaro, samantalang ang karaniwan, na hinihila pataas ng ilang napakasuwerteng sunod, ay lumago nang humigit-kumulang 249 beses. Ang pagtaya nang higit sa Kelly ay nagtataas sa karaniwan at nagpapababa sa tipikal na resulta: sa dalawang beses ng taya ayon kay Kelly, nadodoble lamang ang tipikal na pondo sa paglalaro, at sa dalawa at kalahating beses ng taya ayon kay Kelly ay lumiliit ito, kahit may 44% na bentahe pa rin ang bawat taya. Kaunti ang halaga ng pagtaya nang mas mababa: pinananatili ng kalahating taya ang humigit-kumulang tatlong-kapat ng paglago.
Kapag hula ang bentahe
Ipinapalagay ni Kelly na kilala ang bentahe. Sa mesa ay tinatantiya ito, at kadalasan ay masyadong mataas ang tantiya. Ang halimbawa ni Epstein, na nakabatay sa 44% ni Thorp, ay numerong tumama nang 49 na beses sa 1,225 ikot ng gulong na may dobleng serogulongSeroAng nag-iisang berdeng bulsa na hindi sakop ng tayang magkapantay ang panalo at taya, dosena, o kolum; ang pinagmumulan ng bentahe ng casino. Tinatawag ding: iisang sero, 0.Basahin nang buo →: 1 beses sa 25, 44% na bentahe, 1.26% na taya ayon kay Kelly. Ngunit may 38 numero ang patas na gulong na may dobleng sero, at ang pinakaabala sa mga iyon ay umaabot sa 49 o higit pa sa 1,225 ikot nang humigit-kumulang isang beses sa siyam. Ang pinakaabalang numero sa anumang tala ay siya ring numerong higit na tinulungan ng suwerte, kaya kahit ang totoong may pagkiling na bulsa ay mukhang mas maganda sa tala kaysa sa tunay nitong anyo: ang sumpa ng nanalo. Kung ang bulsang iyon ay sa katunayan walang pagkiling, ang taya ayon kay Kelly ay taya lamang na nalulugi nang 5.26% sa karaniwan. Karaniwang sagot ang tumaya ng bahagi ni Kelly at magpatuloy sa pagbibilang hanggang mabuhay ang bentahe sa sariwang tala (tingnan ang How to Detect Wheel Bias).
Mga taong may bentahe
Ang pagkilala sa bentahe ay hindi kapareho ng mahusay na paggamit nito. Binigyan nina Haghani at Dewey (2016) ang 61 tao ng tig-$25 upang tumaya nang kalahating oras sa baryang sinabihang lumalabas ang ulo 60% ng panahon, na may limitasyon ang mga panalo sa $250 (nalaman lamang ng mga manlalaro ang limitasyon nang maabot nila ito). Sabi ni Kelly, itaya ang 20% ng pondo sa paglalaro sa ulo bawat pagkakataon, at tinatantiya ng mga may-akda na ang matatag na mga taya na 10–20% ay aabot sa limitasyon nang humigit-kumulang 95% ng panahon. 21% lamang ng mga manlalaro ang nakaabot doon. 28% ang naubusan ng pera, 18 sa 61 ang tumaya ng lahat sa isang hagis, humigit-kumulang ikatlo ang nagtapos na mas mababa sa $25 na sinimulan nila, at $91 ang karaniwang bayad sa panaloperaBayad sa panaloAng ibinabalik ng nanalong taya, na sinisipi bilang “X sa 1” bukod pa sa ibinabalik na taya.Basahin nang buo →. Lima lamang sa 61 ang nakarinig na sa pamantayang Kelly. Kung may bentahe, ang sukat ng mga taya ang nagtatakda kung mapapanatili mo ito; kung wala, gaya sa patas na gulong, walang sukat na makatutulong.
Ano ang gamitin sa halip
Kung walang bentahe, usapin ito ng badyet, hindi paglago: taya = ang handa mong gastusin bawat ikot, na nagmumula sa orasang badyet at bilis ng mesa (pahina ng pamamahala ng pondo sa paglalaro). Ang ambag ni Kelly sa karaniwang manlalaro ay ang linaw ng sagot nito: sero. Ang lahat ng itinataya mo nang higit sa sero ay presyo ng paglalaro, pinili mo, hindi in-optimize ng anumang pormula.
Tala tungkol sa fractional Kelly at “money management”
Ang mga sistemang ibinebenta bilang “Kelly para sa ruleta” na nagrerekomenda ng nakapirming porsiyento ng pondo sa paglalaro sa bawat taya ay pantay-pantay na pagtayaestratehiyaPantay-pantay na pagtayaPagtaya ng parehong halaga sa bawat ikot. Ang batayang pinaghahambingan ng bawat progresyon.Basahin nang buo → na may lumiliit na taya. Nalulugi sila nang 2.70% ng kabuuang halagang itinayaperaKabuuang halagang itinayaAng kabuuang halagang itinaya sa isang sesyon o panahon, kasama ang mga panalong muling itinaya. Tinatawag ding: handle, action.Basahin nang buo → at, dahil lumiliit ang taya habang natatalo ka, ginagawa nilang mabagal ang pagkaubos sa halip na hindi malamang. Makatuwiran itong paraan upang tumagal ang badyet; hindi ito Kelly, na magsasabing huminto.
Pormula
Mga tanong
Sa may nasukat na bentahe lamang mula sa gulong na may pagkilinglaboratoryoGulong na may pagkilingIsang gulong na dahil sa mga pisikal na depekto ay nagiging mas malamang ang ilang bulsa kaysa 1/37. Bihira ito at matutukoy lamang sa libo-libong naitalang ikot.Basahin nang buo → o timing device. Hindi sa patas na gulong.
Dahil may kamalian ang tantiya sa bentahe, at mas magastos ang sobrang pagtaya kaysa kulang. Nagbibigay ang half-Kelly ng tatlong-kapat ng paglago sa sangkapat ng baryansmatematikaBaryansSukat kung gaano kalawak kumalat ang mga resulta sa palibot ng inaasahang halaga. Mataas para sa taya sa iisang numero, mababa para sa mga tayang magkapantay ang panalo at taya.Basahin nang buo →.
Hindi. Ino-optimize ni Kelly ang paglago kapag may bentahe. Kinokontrol ng pamamahala ng pondo sa paglalaro ang paggastos kapag wala.
Kasayahan sa matematika
Subukan muna ang mga ito. Nakatiklop ang bawat solusyon; buksan ito kapag handa ka na.
Nagbigay ng mga 44% na bentahe ang aparatong panghula nina Thorp at Shannon. Sa iisang hinulaang numero, sinasabi ni Kelly na tumaya ng 1.26% ng pondo sa paglalaroperaPondo sa paglalaroAng kabuuang halagang inilaan para sa paglalaro. Ang pamamahala sa pondo sa paglalaro ay ang pagpapasya kung gaano kalaki rito ang isasapanganib sa bawat taya at bawat sesyon.Basahin nang buo →. Paano kung ang parehong 44% na bentahe ay nasa isang tayang nakakalat sa limang magkakatabing numero?
Ipakita ang solusyon
Sagot Sinasabi ni Kelly na 7.1% ng pondo sa paglalaro, at halos anim na beses na mas mabilis lumalago ang pondo: mga 1.25 milyon na beses sa 1,000 taya, laban sa mga 11.5 na beses.
Ang taya sa iisang numerotayaTaya sa iisang numeroIsang numero, bayad ay 35:1.Basahin nang buo → na may 44% na bentahe ay nananalo nang may tsansang 0.04, dahil 36 × 0.04 = 1.44. Ang taya ni Kelly ay ang bentahe na hinati sa odds: 0.44/35 = 1.26%. Ang tipikal na paglago sa bawat taya ay 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244, kaya sa 1,000 taya ay minumultiplika ang pondo sa paglalaro nang mga e^2.44 ≈ 11.5.
Ikalat ang isang taya sa limang numero at nananalo ang taya nang may tsansang 0.20 at nagbabayad ng 36/5 para sa 1, iyon ay 6.2 sa 1: 44% pa rin ang bentahe, dahil 0.2 × 7.2 = 1.44. Nagiging 0.44/6.2 = 7.10% ang taya ni Kelly, at 0.01404 ang paglago bawat taya, mga 5.75 beses na mas malaki. Sa 1,000 taya, iyon ay e^14.04, mga 1.25 milyon.
Pareho ang bentahe; mas maliit ang mga pagbabago. Ang tayang nananalo minsan sa bawat lima ay maaaring magdala ng mas malaking bahagi ng pondo sa paglalaro nang hindi nanganganib na maubos, at ginagantimpalaan iyon ng paglago ayon kay Kelly. Ginagamit ni Thorp (1984) ang halimbawa upang ipakita kung bakit tumataya ang mga manlalarong humuhula sa mga sektorgulongSektorMagkakadugtong na arko ng mga bulsa sa gulong, naiiba sa pangkat sa ayos ng tayaan.Basahin nang buo →. Sa pagsasagawa, bahagyang mas mababa ang bentahe ng limang kapitbahaytayaMga kapitbahayIsang numero at ang dalawang bulsa sa magkabilang panig nito sa gulong; limang chip para sa mga taya sa iisang numero.Basahin nang buo → kaysa sa nag-iisang pinakamahusay na numero (tingnan ang Advantage Play).
Nakakita ang isang manlalaro ng dalawang magkatabing bulsakagamitanBulsaIsa sa 37 may numerong kompartimento sa rotor. Tinatawag ding: slot, cup.Basahin nang buo → na bawat isa ay tumatama nang 1 beses sa 25 sa halip na 1 sa 37. Dapat ba niyang tayaan ang hating tayatayaHating tayaDalawang magkatabing numero; ang bayad ay 17:1.Basahin nang buo → sa pagitan nila sa 17 sa 1, o tumaya ng taya sa iisang numero sa bawat isa? Magkano ang sinasabi ni Kelly, at gaano kabilis lumalago ang pondo sa paglalaro kumpara sa isang gayong bulsa?
Ipakita ang solusyon
Sagot Walang pagkakaiba: 2.59% ng pondo sa paglalaro sa hating taya, o 1.29% sa bawat numero. Karaniwang lumalago ang pondo sa paglalaro nang mga 155 beses sa 1,000 ikot, laban sa 11.5 beses sa isang bulsa.
Nananalo ang hating taya nang may probabilidadmatematikaProbabilidadProbabilidad ng isang kinalabasan, mula 0 hanggang 1 o 0% hanggang 100%. Isang numero: 1/37 = 2.70%.Basahin nang buo → na 2/25 = 0.08 at nagbabayad ng 17 sa 1, kaya nagbabalik ito ng 18 × 0.08 = 1.44 bawat yunitperaYunitAng batayang taya na gamit ng sistema o manlalaro. Inilalarawan ang mga progresyon sa mga yunit upang umangkop ang mga ito sa anumang mesa.Basahin nang buo → na itinaya: 44% na bentahe, kapareho ng isang bulsang may pagkiling. Ang taya ni Kelly ay ang bentahe na hinati sa odds: 0.44/17 = 2.59%.
Dalawang taya sa iisang numero na tig-1.29% ay eksaktong nagbibigay ng parehong resulta. Kapag lumabas ang alinmang numero, isang chipperaChipIsang pantandang kumakatawan sa nakapirming halaga, inilalagay sa ayos ng tayaan upang tumaya. Tinatawag ding: check.Basahin nang buo → ang nananalo ng 35 sa 1 at talo ang isa pa, isang netong 34 × 1.29% = 44% ng pondo sa paglalaro, gaya ng ibinabayad ng hating taya; kapag walang lumabas sa dalawa, kapwa talo.
Ang paglago bawat ikot ay 0.00505, laban sa 0.00244 para sa isang bulsa, kaya sa 1,000 ikot ay karaniwang lumalago ang pondo sa paglalaro nang e^5.046 ≈ 155 beses sa halip na e^2.44 ≈ 11.5 beses. Ang dalawang mabuting numero ay mas mahalaga kaysa dalawang beses ng isa, kaya tumataya ang mga manlalaro ng pagkiling sa mga pangkat ng numero. Ganoon ding paghahambing ang ginawa ni Thorp (1984).
Pampagaan ng usapan
Ang taya sa ruleta na pinakamainam para sa paglago ay numerong alam na ng lahat.
Mga Sanggunian
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”