Problema: Ang Limitasyon ng Mesa
Isang $10 na Martingale sa mesang may $500 na limitasyon. Gaano ito kadalas masira, gaano kalaki ang talo kapag nasira ito, at nakatutulong ba ang pagtataas ng limitasyon?
Anim na talo nang sunod-sunod ang sumisira rito: 1.8% bawat siklo, humigit-kumulang 60% ng mga sesyong may 100 ikot. Ang pagkasira ay nagkakahalaga ng $630. Ang pagtataas ng limitasyon sa $5,000 ay ginagawang mas bihira ang pagkasira (0.25% bawat siklo) at mas malaki ($5,110). Ang inaasahang talo kada dolyar na itinaya ay 2.70% sa anumang limitasyon.
Ang problema
Tumataya ang manlalaro ng $10 sa pulatayaPulaTaya na magkapantay ang panalo at taya sa 18 pulang numero. Sa Pranses: rouge.Basahin nang buo → at nagdodoble pagkatapos ng bawat talo, bumabalik sa umpisa pagkatapos ng panalo. Ang pinakamataas sa mesa ay $500. (a) Ilang magkakasunod na talo ang sisira sa progresyon ng tayaestratehiyaProgresyon ng tayaAnumang patakarang nagpapabago sa taya batay sa mga nakaraang resulta. Itinataas ito ng mga negatibong progresyon pagkatapos ng mga talo, ng mga positibo pagkatapos ng mga panalo.Basahin nang buo →? (b) Ano ang probabilidadmatematikaProbabilidadProbabilidad ng isang kinalabasan, mula 0 hanggang 1 o 0% hanggang 100%. Isang numero: 1/37 = 2.70%.Basahin nang buo → bawat siklo? (c) Ano ang nawawala sa pagkasira? (d) Paano binabago ng limitasyong $5,000 ang mga sagot? (e) May limitasyon bang nagpapakinabang sa sistema?
Mga solusyon (a)–(c)
Mga taya: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Ang ikapito ay magiging 640 > 500, kaya anim na talo ang sisira rito. (b) p(talo) = 19/37 sa pula; (19/37)⁶ = 0.0183, humigit-kumulang 1.8% bawat siklo. Tumatagal ang isang siklo nang humigit-kumulang dalawang ikot sa karaniwan, kaya ang sesyong may 100 ikot ay may humigit-kumulang 50 siklo at p(kahit isang pagkasira) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, na 63 batayang yunitperaYunitAng batayang taya na gamit ng sistema o manlalaro. Inilalarawan ang mga progresyon sa mga yunit upang umangkop ang mga ito sa anumang mesa.Basahin nang buo →, laban sa $10 na sinusubukang panalunin ng siklo.
Solusyon (d)
Sa $5,000: pinapayagan ang mga taya hanggang 2,560; tinatanggihan ang ikasampung taya, 5,120. Siyam na talo ang sisira rito: (19/37)⁹ ≈ 0.25% bawat siklo, humigit-kumulang 11% ng mga sesyong may 100 ikot. Talo sa pagkasira: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Bumili ang manlalaro ng mas bihirang sakuna kapalit ng mas malaking sakuna. Sa maraming sesyon, ang inaasahang gastos ng mga pagkasira ay p × talo ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 bawat siklo sa limitasyong $500 at 0.0025 × 5,110 = $12.8 sa $5,000; sa loob ng pag-round, pareho ang bilang, at ito ang inaasahang talomatematikaInaasahang taloAng inaasahang halaga na pinarami sa kabuuang halagang itinaya; ang karaniwang halagang natatalo sa isang sesyon o panahon.Basahin nang buo → ng siklo bawas ang $10 na kinikita ng mga siklong nananalo.
Solusyon (e)
Hindi. Inaasahang talo bawat siklo = (inaasahang kabuuang taya sa siklo) / 37, sa anumang limitasyon, dahil ang bawat taya ay −1/37 ng sarili nito. Ang limitasyon ay nagtatakda lamang kung paano ipinamamahagi ang talo sa pagitan ng maraming maliit na panalo at ilang malaking talo. Kung walang limitasyon at walang hanggan ang pondo sa paglalaroperaPondo sa paglalaroAng kabuuang halagang inilaan para sa paglalaro. Ang pamamahala sa pondo sa paglalaro ay ang pagpapasya kung gaano kalaki rito ang isasapanganib sa bawat taya at bawat sesyon.Basahin nang buo →, “gagana” ang progresyon sa kahulugang hindi ito kailanman masisira, at magtataya rin ito ng walang hangganang halaga na may inaasahang talo na 2.70% ng walang hangganang halagang iyon. Hindi ang limitasyon ng mesamesaLimitasyon ng mesaPinapayagang pinakamababa at pinakamataas na taya. Ang pinakamataas ang pumipigil sa mga progresyong nagdodoble.Basahin nang buo → ang pumipigil sa paggana ng MartingaleestratehiyaMartingaleProgresyon na nagdodoble ng taya pagkatapos ng bawat talo. Tingnan ang seksiyong Estratehiya para sa ginagawa at hindi ginagawa nito.Basahin nang buo →. Aritmetika ang pumipigil.
Dalawang tunay na mesa
Ang halimbawa ni Thorp ay mesang $1 na may pinakamataas na $1,000, kung saan umaasang mananalo ang manlalaro ng $30 para sa hapunan nang tig-isang dolyar. Ang mga taya na 1, 2, 4 … 512 ay nagbibigay-daan sa sampung taya, kaya sampung talo nang sunod-sunod ang sisira sa progresyon: isang beses sa 785 siklo sa gulong na Europeo (isang beses sa 613 sa Amerikano), sa halagang $1,023. Matagumpay ang lahat ng tatlumpung siklo nang 96.2% ng panahon. Ang iba pang 3.8% ay natatalo nang humigit-kumulang $1,000, at ang karaniwang resulta ng gabi ay −$9.17, na eksaktong 1/37 ng $339 na itinataya ng tatlumpung siklo sa karaniwan. Walang ipinagkaiba ang mesang $5 na may pinakamataas na $2,000: ang mga taya hanggang $1,280 ay nagbibigay-daan sa siyam na taya, at dumarating ang pagkasira nang isang beses sa 403 siklo sa gulong na Europeo (isang beses sa 323 sa Amerikano) at nagkakahalaga ng $2,555.
Isang mayamang manlalaro
Bigyan ang progresyon ng malalim na pondo sa halip na mababang limitasyon: 1,000 yunit, isang-yunit na batayan at 1,000 ikot sa pula, nagsisimula muli sa isang yunit kapag ang susunod na doble ay higit sa natitira. Nagsimula kami ng simulasyon ng isang milyon na gayong gabi. Sa gulong na Europeo, 52% ang nagtatapos na nauuna, 21% ang nawawala ang lahat, at ang karaniwang resulta ay −124 na yunit. Kahit sa larong walang serogulongSeroAng nag-iisang berdeng bulsa na hindi sakop ng tayang magkapantay ang panalo at taya, dosena, o kolum; ang pinagmumulan ng bentahe ng casino. Tinatawag ding: iisang sero, 0.Basahin nang buo →, kung saan patas ang bawat taya, humigit-kumulang 60% lamang ang magtatapos na nauuna. Karaniwang maliit na panalo ang gabi; ang average ay binabayaran ng mga gabing nagtatapos sa sero.
Ang aral
Nagtatakda ang mga casino ng mga limitasyon upang limitahan ang sarili nilang baryansmatematikaBaryansSukat kung gaano kalawak kumalat ang mga resulta sa palibot ng inaasahang halaga. Mataas para sa taya sa iisang numero, mababa para sa mga tayang magkapantay ang panalo at taya.Basahin nang buo →, hindi upang talunin ang mga sistema. Masayang side effect para sa kanila ang pagtalo sa Martingale, at tatalunin ito ng aritmetika sa alinmang paraan. Natukoy ng manlalarong nag-iisip na problema ang limitasyon ang bangin at napagkamalan itong dalisdis.
Pormula
Mga tanong
Nabubuhay ka nito hanggang sa mas mataas na limitasyon, kung saan mas bihira at mas malaki ang pagkasira. Hindi nagbabago ang inaasahang talo kada dolyar.
Mga taya 10, 30, 70, 150, 310: naaabot ang limitasyong $500 pagkatapos ng limang talo, at ang pagkasira ay nagkakahalaga ng $570. Parehong 2.70%.
Upang hindi makatayang higit ang isang manlalaro kaysa kayang bayaran nang kumportable ng reserba ng casino. Pamamahala ng baryans.
Kasayahan sa matematika
Subukan muna ang mga ito. Nakatiklop ang bawat solusyon; buksan ito kapag handa ka na.
Nagsisimula ang isang MartingaleestratehiyaMartingaleProgresyon na nagdodoble ng taya pagkatapos ng bawat talo. Tingnan ang seksiyong Estratehiya para sa ginagawa at hindi ginagawa nito.Basahin nang buo → sa $100 sa pulatayaPulaTaya na magkapantay ang panalo at taya sa 18 pulang numero. Sa Pranses: rouge.Basahin nang buo → at pinapayagan ang sarili ng hindi hihigit sa n taya sa isang siklo: pagkatapos ng n sunod-sunod na talo, sumusuko ito at nagsisimulang muli. Isulat ang karaniwang resulta ng isang siklo bilang formula sa n, at kwentahin ito para sa 5, 6 at 7 taya sa gulong na Europeo.
Ipakita ang solusyon
Sagot Ang karaniwan ay 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 para sa 5 taya, −$17.35 para sa 6 at −$20.52 para sa 7. Ang pagpapahintulot ng mas maraming taya ay nagpapasama, hindi nagpapabuti, sa karaniwang siklo.
Nananalo ang isang siklo ng $100 maliban kung matatalo ang lahat ng n taya, na nangyayari nang may tsansang qⁿ, kung saan q = 19/37. Kapag talo ang lahat, ang mga taya na 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ay may kabuuang 100 × (2ⁿ − 1). Kaya ang karaniwan ay 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Dito, 2q = 38/37, bahagyang higit sa 1, kaya lumalaki ang (2q)ⁿ kasabay ng n at bumababa ang karaniwan: n = 5 ay nagbibigay ng 1.1426 at −$14.26; n = 6 ay nagbibigay ng 1.1735 at −$17.35; n = 7 ay nagbibigay ng 1.2052 at −$20.52. Mas bihirang matalo ang mas mahabang hagdan, sa 3.6%, 1.8% at 0.9% ng mga siklo, ngunit dalawang beses ang laki ng bawat talo, at mas maraming pera ang tumatawid sa mesa bawat siklo, sa 2.70% ng bawat taya.
Sa gulong na Amerikano, 2q = 40/38 at ang mga bilang ay −$29.24, −$36.04 at −$43.20 (Taylor, 2021). Sa larong walang serogulongSeroAng nag-iisang berdeng bulsa na hindi sakop ng tayang magkapantay ang panalo at taya, dosena, o kolum; ang pinagmumulan ng bentahe ng casino. Tinatawag ding: iisang sero, 0.Basahin nang buo →, 2q = 1, at eksaktong sero ang karaniwan ng bawat siklo gaano man kahaba ang hagdan.
Dinodoble ng “grand Martingale” ang taya pagkatapos ng talo at nagdadagdag ng isang yunitperaYunitAng batayang taya na gamit ng sistema o manlalaro. Inilalarawan ang mga progresyon sa mga yunit upang umangkop ang mga ito sa anumang mesa.Basahin nang buo →, kaya ang mga taya ay 1, 3, 7, 15, 31 … Magkano ang lamang mo kapag dumarating ang unang panalo sa ika-1, ika-2, ika-3 o ika-k taya? Sa $10 na yunit at $500 na maximum, gaano kadalas masisira ang siklo, at magkano ang karaniwang halaga ng siklo?
Ipakita ang solusyon
Sagot Ang panalo sa ika-k taya ay nag-iiwan sa iyo ng k yunit na lamang: +1, +2, +3 at iba pa. Sa $10 at $500, nasisira ang siklo pagkatapos ng limang talo, 3.57% ng mga siklo, para sa −$570. Sa karaniwan, $2.32 ang talo ng isang siklo mula sa $85.73 na itinaya: 2.70%.
Ang ika-k taya ay 2ᵏ − 1 yunit: 1, 3, 7, 15, 31. Ang unang k − 1 taya ay may kabuuang 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Ang panalo sa ika-k taya ay nagbabayad ng 2ᵏ − 1, kaya nagtatapos ang siklo na (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k yunit na lamang: isang dagdag na yunit sa bawat talo bago ang panalo.
Sa $10 bawat yunit, ang mga taya ay $10, $30, $70, $150 at $310; ang susunod, $630, ay higit sa $500 na maximum. Ang limang sunod-sunod na talo, (19/37)⁵ = 3.57%, ay nagkakahalaga ng 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Karaniwan: ang mga panalo ay nagbabalik ng $10 × k nang may tsansang (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 para sa k = 1 hanggang 5, at kinukuha ng pagkasira ang $570 nang may tsansang 3.57%; magkasama, −$2.32. Ang naitayang pera ay $85.73 sa karaniwan bawat siklo, at 2.32/85.73 = 2.70%. Ang karaniwang Martingale sa parehong mesa ay nasisira pagkatapos ng anim na talo, 1.83% ng mga siklo, para sa −$630, at nawawalan ng $1.74 mula sa $64.20 na itinaya: 2.70% muli.
Nagpaplano ang isang manlalaro ng Martingale sa pula na may $1 unang taya sa mesang ang limitasyon ay $1,000, kaya sampung taya ang posible: $1, $2, $4 at iba pa hanggang $512. Gaano kadalas natatalo ang lahat ng sampung taya sa isang siklo, gaano katagal iyon sa karaniwan, at gaano kadalas nagtatapos nang ganoon ang gabing may 200 taya?
Ipakita ang solusyon
Sagot Natatalo ang lahat ng sampung taya sa isang siklo nang mga minsan sa 784, na nagkakahalaga ng $1,023. Mga 1,600 taya iyon sa karaniwan, at ang gabing may 200 taya ay tumatama sa hangganan nang mga 11% ng oras. Nawawalan pa rin ang isang siklo ng $0.31 sa karaniwan mula sa $11.31 na itinaya: 2.70%.
Nawawala ang taya sa pula nang may tsansang 19/37, kasama ang sero. Sampung sunod: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, mga 1 sa 784. Ang mga taya na 1 + 2 + 4 + … + 512 ay may kabuuang $1,023.
Ang isang siklo ay tumatagal ng 2.05 taya sa karaniwan, kaya ang 784 siklo ay tumatagal nang mga 1,600 taya. Kung bibilangin kada ikot, ang sampung sunod na talo ay lumilitaw sa isang lugar sa 200 taya nang 11.3% ng oras.
Sa pagitan ng mga sakuna, nananalo ang manlalaro ng $1 bawat siklo: mga $783 bago ang masamang siklong iyon, pagkatapos ay −$1,023, mga −$240 sa buong yugto. Bawat siklo: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. Pera na itinaya bawat siklo: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. At −0.31/11.31 = −2.70%.
Ihambing ang $10 unang taya sa $500 limitasyon, anim na taya: minsan sa 55 siklo ang hangganan, at nakakaharap ito ng gabing may 200 taya nang 84% ng oras. Ginagawang mas bihira at mas malaki ng mas mataas na limitasyon ang pagguho, hindi mas mura.
Pampagaan ng usapan
Mas bihira at mas malaki, sa bawat limitasyon. Pare-pareho ang produkto.
Mga Sanggunian
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.